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前言1 引例一人口预测问题2 曲线拟合的原理3 曲线拟合的实现方法4 实际应用-家庭储蓄规律问题小结
前言
本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第5、6小结的学习笔记，通过查阅本文，可以轻松掌握利用MATLAB进行数据拟合了。
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1 引例一人口预测问题
人口增长是当今世界上都关注的问题，对人口增长趋势进行预测是 各国普遍的做法。已知某国1790年到2010年间历次人口普查数据如 下表所示，请预测该国2020年的人口数。
年份179018001810182018301840185018601870188018901900人口（百万）3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.263.076.0年份19101920193019401950196019701980199020002010人口（百万）92.0105.7122.8131.7150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7
解题思路：找一个函数，去逼近这些数据，然后再根据找到的函数，计算预测点的值。
x=1790:10:2010;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,63.0,76.0,92.0,105.7,122.8,131.7,150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
plot(x,y,'*');
p=polyfit(x,y,3);
polyval(p,2020)
plot(x,y,'*',x,polyval(p,x));
2 曲线拟合的原理
曲线拟合的原理 与数据插值类似，曲线拟合也是一种函数逼近的方法。
x
x
x
x
1
x
2
.
.
.
x
k
.
.
.
x
n
x_1 \ x_2 \ ...x_k...\ x_n
x1 x2 ...xk... xn
y
y
y
y
1
y
2
.
.
.
y
k
.
.
.
y
n
y_1\ y_2 \ ...y_k...\ y_n
y1 y2 ...yk... yn
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 构造函数
g
(
x
)
g(x)
g(x)去逼近未知函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，使得误差
δ
=
g
(
x
i
)
−
f
(
x
i
)
(
i
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
）
\delta=g(x_i)-f(x_i)(i=1,2,3,…,n）
δ=g(xi)−f(xi)(i=1,2,3,…,n）在某种意义下达到最小。 两个问题： （1）用什么类型的函数做逼近函数？ 多项式函数 （2）误差最小到底怎么计算？ 最小二乘法 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。 设p（x）是一个多项式函数
p
（
x
）
=
a
m
x
+
a
m
−
1
x
m
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
o
p（x）=a_mx+a_{m-1}x^{m-1}+…+a_1x+a_o
p（x）=amx+am−1xm−1+…+a1x+ao，且
∑
i
=
1
n
（
p
(
x
i
)
−
y
i
)
2
\sum\limits_{i=1}^n（p(x_i)-y_i)^2
i=1∑n（p(xi)−yi)2的值最小， 则p（x）为原函数y=f（x）的逼近函数。
3 曲线拟合的实现方法
MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit（），其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为： （1）P=polyfit（X，Y，m） （2）[P，S]=polyfit（X，Y，m） （3）[P，S，mu]=polyfit（X，Y，m） 根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu（1）是mean（X），而mu（2）是std（X）。 [P，S，mu]=polyfit（X，Y，m）有什么用呢？mean（X）、std（X）又是什么意思呢？。mean函数是一个求数组平均值的函数,std函数是求标准差。 在引例中，我们已经用polyfit（）函数预测了某国2020年的人口数。这个结果是否正确呢？我们无法得到2020年的数据，但是2016年的数据已经有了。所以，不妨再预测一下该国2016年的人口数。 polyval（p，2016） ans= 327.0964 该国2016年人口数实际为323.1。 思考：相对误差1.24%，怎样才能减小？ 问题分析： 据研究，一个国家的人口增长具有如下特点： （1）发展越平稳，人口增长越有规律。 （2）当经济发展到一定水平时，人口增长率反而下降。 换言之，在不同的环境和经济发展水平，人口可能有不同的增长规律。 结论： 在人口增长数据的拟合上，应该将二战后至今这一时期的数据与此前的数据分开处理。
x=1950:10:2010;
y=[150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
p=polyfit(x,y,3)
p=polyfit(x,y,2);
plot(x,y,'*',x,polyval(p,x))
polyval(p,2016)
polyval(p,2020)
ans=
325.1696
ans=
336.7857%相对误差成功减小到0.64%！
结论： （1）要对问题的背景进行详细的分析。 （2）采样点并非越多越好，适当的时候，可以减少采样点，分段进行拟合。
4 实际应用-家庭储蓄规律问题
以下是某市家庭收入x与家庭储蓄y之间的一组调查数据（单位：万元），试建立x与y的线性函数经验公式。
x0.61.01.41.82.22.63.03.43.84y0.080.220.310.40.480.560.670.750.81.0
x=[0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4];
y=[0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0];
p=polyfit(x,y,1)
plot(x,y,'*',x,polyval(p,x))
p=
0.2390-0.0418 %经验公式：y=0.239x-0.0418
最后几组数据误差还是挺大的。 那么总结一下，曲线拟合有哪几种功能呢？ （1）估算数据 （2）预测趋势 （3）总结规律 数据拟合和数据插值有什么区别呢？ 相同点: (1)都属于函数逼近的方法； (2)都可以通过离散有限的数据估算其他数据。 不同点: (1)实现方法上，数据插值要求逼近函数经过样本点，而曲线拟合只需要每个数据点的误差平方和最小； (2)结果形式上，数据插值往往没有统一的逼近函数，而数据拟合有统一的逼近函数； (3)侧重点上，数据插值一般用于样本点区间内的数据计算，而曲线拟合不光可以估算区间内的数据，也可以对区间外的进行预测； (4)应用场合上，如果样本点为精确数据，使用数据插值比较好，如果数据为统计数据，则使用曲线拟合更优。
小结
曲线拟合和数据插值有所不同，各有侧重。奥里给，学好它，让它为我所用。最后不要忘记 点赞👍，收藏⭐，转发🚀， 如有问题、建议请您在评论区留言💬。